Problem ve Problem Çözme:

Problem deyince, çoğunlukla ilkokul matematik ders kitaplarından elde edilen bir anlayışla konu sonlarında verilen dört işleme dayalı matematik problemleri akla gelmektedir (1).  “Aralarında 140 km mesafe olan iki bisikletli karşılıklı yola çıkıyorlar. Birincinin saatteki hızı 15 km dir ve iki bisikletli 5 saat sonra karşılaştıklarına göre ikinci bisikletlinin saatteki hızı kaç km dir?” örneğinde olduğu gibi. Problem kavramı burada sözü edilenden daha geniş bir anlama sahiptir ve problemin matematikle ilgili olması şart değildir.

Problem kavramıyla ilgili verilen bir tanım şöyledir.

Problem zor ya da sonucu belirsiz bir sorudur. Çözümü bir araştırma veya tartışma gerektirir. Kişi çözümü bulma konusunda hazırlıksız fakat isteklidir (2)

Bu tanım problemin üç temel özelliğini ortaya koymaktadır. Bunlar (1) Problemin karşılaşan kişi için bir güçlük olduğu, (2) kişinin onu çözmeye ihtiyaç duyduğu ve (3) kişinin bu problemle daha önce karşılaşmamış olduğu, çözümle ilgili bir hazırlığının bulunmadığıdır. Bu özellikle problem kavramıyla ilgili bazı sınırlamalar getirmektedir. Bunlar, bir kez karşılaşılıp çözüldükten sonra aynı durumun problem olmadığı, bazı kişiler için problem olan bir durumun diğer bazılarına göre olmadığı, çözümün aniden ortaya çıkmadığı ve bir çaba gerektirdiğidir.

Problem çözme ise problem kavramına bağlı olarak “Ne yapılacağının bilinmediği durumlarda yapılacak olanı bilmektir” şeklinde tanımlanabilir. Bir problemle karşılaşıldığı zaman onun anlaşılması çok önemlidir. Birey anlayamadığı bir problem için, çözüm öneremez, herhangi bir strateji tespit edip bunu uygulamaya koyamaz. Bu açıklamalara göre problem çözme süreci; “Net olarak tasarlanan fakat hemen ulaşılamayan bir hedefe varmak için kontrollü etkinliklerle araştırma yapmadır” şeklinde açıklanabilir.

Problem Çözme Ve Önemi

Problem çözme yeteneği belki de insan neslinin varlığını sürdürebilmesi için gerekli en temel yetenektir. İnsan ve toplum hayatında ne zaman ne tür güçlüklerle karşılaşacağı ya da ne tür ihtiyaçların doğacağı önceden bilinmediği için çağdaş eğitim kendi kendine güçlüklerin üstesinden gelebilen insanı yetiştirmeyi hedeflemektedir. Yukarıda değinildiği gibi, bilgi yalnız başına problem çözmemektir. Problem çözme yetenekleri gelişmemiş insan bilginin sadece taşıyıcılığını yapar. Bu bakımdan problem çözme ve dolayısıyla onun öğretimi önemlidir.

Problemlerin Sınıflandırılması

Problemlerin değişik yaklaşımlarla sınıflandırılmaları yapılabilir. Öğretimindeki amaçlar esas alınarak problemler iki sınıfa ayrılabilir. Rutin ve rutin olmayan problemler.

Rutin (Dört İşlem) Problemler

Bunlar matematik ders kitaplarında çokça yer alan ve dört işlem problemleri olarak bilinen problemlerdir. Yabancı literatürde word problem ya da story problem olarak adlandırılırlar. Rutin problemler bir ya da çok işlemli olabilirler. “Ali 212 sayfalık bir kitabın birinci gün 30, ikinci gün 42 sayfasını okudu. Üçüncü gün kitabın yarısına geldiğine göre üçüncü gün kaç sayfa okumuştur?” bu türden bir problemdir. Dört işlem problemlerinin öğretiminin amacı, çocukların günlük hayatta çok gerekli olan işlem becerilerini geliştirmeleri, problem hikâyesinde geçen bilgileri matematik eşitliklere aktarmayı öğrenmeleri, düşüncelerini şekillerle anlatmaları, yazılı ve görsel yayınları anlamaları ve problem çözmenin gerektirdiği temel becerileri kazanmalarıdır.

Rutin Olmayan (Gerçek) Problemler

Rutin olmayan problemlerin çözümleri işlem becerilerinin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma, ilişkileri görme gibi becerilere sahip olmayı ve bir takım aktiviteleri arka arkaya yapmayı gerektirir (3). Örneğin; “Bir adam bir oyundan bir tilki, bir ördek ve bir çuval mısır kazanıyor. Bunlarla birlikte bir nehrin bir kıyısından öbür kıyısına geçmek zorunda fakat bir kayık var ve çok küçük. Adamla birlikte bu kayık ancak birini alabiliyor. Mısırı geçirse tilki ördeği yiyebilir, tilkiyi geçirse ördek mısırı. Hiçbir zayiatı olmadan bunları karşıya nasıl geçirebilir?” sorusu bu türden bir problemdir. Bu problemler ya gerçek hayatta karşılaşılmış ya da karşılaşılabilecek bir durumun ifadesidirler. Bundan ötürü bunlara gerçek hayat problemleri de denir.

Matematik, fizik ve diğer bazı derslerde üzerinde çalışılan formüllerin ve genellemelerin her biri de bir gerçek hayat problemi olarak ele alınabilir. 1’den itibaren n tane tek sayının toplamı  dir. Üçgenin alanı dir. Çağdaş bir öğretim, bu genellemelerin veya formüllerin problem çözme yaklaşımı ile ele alınmasını ve öğrencilere buldurulmasını gerektirir. Rutin olmayan problemleri çözmeyi öğrenen öğrenciler sayısal ilişkileri ve sistematik yapılan görme bakımından gelişirler. Verilerden hareket ederek verilmeyen ya da bilinmeyen kısımlar hakkında tasarım ve kestirimde bulunabilirler.

Rutin olmayan problemlerin, çözümlerinin amacı ise problem çözmenin mantığını ve doğasını kavrama, bir problemle karşılaşıldığında uygun stratejiyi seçme, kullanma ve sonuçları yorumlama yeteneklerini geliştirmektir. Bu amaç problem çözme öğretiminin en temel amacıdır.

İnsan ve toplum hayatında, ne zaman ne tür güçlüklerle karşılaşılacağı ya da ne tür ihtiyaçların doğacağı önceden bilinmediği için, çağdaş eğitim kendi kendine güçlüklerin üstesinden gelebilen insanı yetiştirmeyi hedeflemektedir. Bu bakımdan problem çözme öğretimi önemlidir. Eğitim öğretim faaliyetlerinde problem çözme sadece bir matematik konusu olarak ele alınıp sonra terkedilmemeli, bütün eğitimin odak noktası olmasıdır. Yani öğretimde problem çözme yaklaşımı, en temel yaklaşım olarak benimsenmelidir.

Hayatta karşılaşılan bir problemin çözümü aşağıdaki döngüye uygun olarak gerçekleşir. Önce problemin matematik ifadesi elde edilmekte daha sonra problemin matematiksel çözümü yapılmakta son olarak bu çözüm gerçek hayat için yorumlanmaktadır.

Her gerçek hayat problemi için bu döngü geçerlidir. Bu döngü basit bir problem üzerinde şöyle açıklanabilir (4).

* Gerçek hayat problemi: Öğrenciler pikniğe gidecek. Nasıl?

* Problemin matematiksel anlatımı: Okulun öğrencisi ve  kişi taşıyabilecek bir aracı var. Kaç sefer yapmalıdır?

* Matematik problemin çözümü

* Gerçek hayat probleminin çözümü: Araç  sefer yapmalıdır.

Problem Çözme Öğretiminin Amaçları

Problem çözme öğretiminin amaçları iki alt başlık altında toplanabilir. Bunlar, özel ve genel amaçlardır.

Özel Amaçlar

Özel amaçlar işlem  becerisini geliştirme, sayı ve şekillerle uğraşmaya alışma, veri toplama ve tasnif etme, problem metnine uygun şekil ve şema çizme, düşünceleri matematik diliyle anlatma, yazılı ve görsel yayınlarda kullanılan matematik ifadeleri anlamadır. Özellikle, sıradan ( dört işlem ) problemlerin nasıl çözüldüğünün öğretilmesi özel amaçlara hizmet eder.

Genel Amaçlar

Problem çözme öğretiminin genel amacı, problem çözme yeteneğini geliştirmektir. Problem çözme yeteneği, bir problemle karşılaşıldığında onun doğasını kavrama ve problemi anlama, çözümü için uygun stratejiyi seçme, bu stratejiyi kullanma ve sonuçları yorumlama yeteneklerini kapsar. Problem çözme yeteneği gelişen insan çevresindeki olayları açıklamak için problem çözme yaklaşımı ile davranmayı alışkanlık haline getirir.

Problem Çözme Süreci

Bütün problemlerin çözümünde kullanılan belirli bir yol ya da yöntem yoktur. Eğer böyle bir yöntem olsaydı. Sorun temelli halledilirdi. Bu bakımdan sürecin kavranması her safhada yapılabilecek işler ile ilgili bir repertuvarın geliştirilmesi önemlidir.

Sıradan ve sıradışı problemlerin çözümleri konusunda en çok kabul gören süreç George Polya tarafından verilen dört aşamalı bir süreçtir.

1.       Problemin anlaşılması

2.       Çözümle ilgili stratejinin seçilmesi

3.       Seçilen stratejinin uygulanması

4.       Çözümün tartışılması

Bu basamakların bilinmesi; birinci basamakta ne istediğinin bilinmesi, ikinci basamakta hangi stratejinin seçileceği yine çözen kişiye kaldığı için; problem çözmeyi sağlamaz. Ancak bu dört basamağa uygun çalışma biçimi çözümü kolaylaştırır.

Bu basamaklar ve bu basamakların kapsamındaki başlıca etkinlikler şunlardır

1)     Problemin Anlaşılması

Bu basamakta cevaplanacak iki temel soru vardır

1.       Veriler nelerdir, koşullar nelerdir?

2.       Bilinmeyen nedir?

Eğer öğrenci bu iki soruya tam olarak cevap verebiliyorsa problemi anlamış demektir. Problemi anlamanın başka göstergeleri de vardır.

1.       Öğrenci problemi anlamına uygun vurguyla okuyabiliyor mu?

2.       Problemde eksik ya da fazla bilgi varsa bunları biliyor mu?

3.       Problemden ne tür bilgiler elde edileceğini görebiliyor mu?

4.       Problemdeki olaylara ve ilişkilere uygun şekil ya da diyagram çizebiliyor mu?

5.       Problemi kısımlara ( alt problemlere ) ayırabiliyor mu?

2)     Çözümle İlgili Stratejinin Seçilmesi

Buradaki soruların problemin anlaşılması ile çok yakından ilişkili olduğu açıktır. Çünkü uygun stratejinin seçilmesi anlamaya ve stratejileri tanımaya bağlıdır. Bir problemin çözümünde bazen bir, bazen birkaç birlikte kullanılır. Bazen de aynı problemin çözümüne farklı stratejiler uygun düşebilir. Bu stratejilerin başlıcaları şunlardır:

1.       Sistematik liste yapma

2.       Tahmin ve kontrol

3.       Diyagram çizme

4.       Bağıntı bulma

5.       Açık önerme yazma

6.       Tahmin etme

7.       Benzer problemlerin çözümünden faydalanma

8.       Geriye doğru çalışma

9.       Tablo yapma

10.   Muhakeme etme

3)     Seçilen Stratejinin Uygulanması

Seçilen stratejinin kullanılması ile problem adım adım çözülmeye çalışılır. Çözülmez ise problemin bir ve ya ikinci adımına dönülerek bu stratejide ısrar edilir. Yine çözülmez ise strateji değiştirilir. Aritmetik işlemlerin yapılması da bu safhada yer alır.

4)     Çözümün Tartışılması

Çözümün tartışılması ve ya değerlendirilmesi çoğu kimse tarafından sadece “sonuçların doğruluğunun kontrolü” olarak anlaşılmaktadır. Oysa bu safha daha geniş bir anlama sahiptir ve problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi ile ilgili birçok etkinlik içerir.

Bu safhalarının temel eylemleri şunlardır.

1.       Sonuçların doğruluğunu ve uygunluğunu kontrol et

2.       Problemi varsa başka yollardan çöz

3.       Problemin değişik şekillerini ifade et ve bu durumun nasıl olacağını düşün.

Dört İşlem Problemlerinin Çözümünün Öğretimi

Dört işlem problemlerinin çözümlerini ilgilendiren temel becerilerin neler olduğunu ve bunların nasıl geliştirileceğini inceleyelim. Bu problem çözmede dört safhanın içinde yer alan temel beceriler şöyle sıralanabilir

1.Verilenleri Ve İsteneni Yazma

Verilen ve isteneni yazma problem metninde verilen ve istenen bilgileri bilgi kaybına yer vermeksizin kısaca yazmaktır. Öğrencilerin anlamada güçlük çektikleri kavram ve deyimler de bu safhada açıklanmalıdır.

Örnek: Bir satıcının tanesini kuruştan aldığı yumurtadan  tanesi kırıldı. Kalanların tanesini  kuruştan sattı. Bu satıştan kar mı zarar mı etmiştir? Kar ya da zarar ne kadardır?

Verilenler                                                     İstenen
Alınan yumurta: 115 Yumurta alış fiyatı:6 kuruş Kırılan yumurta:12 tane Yumurta satış fiyatı:8 kuruş	Kar ya da zarar kaç lira

 

2.Probleme Uygun Şekil Ve Şema Çizme

İlkokulda çocuklara bir probleme şekille nasıl gösterileceği öğretilmelidir. Somut işlemler dönemindeki çocuklar x, y gibi soyut işaretler kullanamazlar. Ancak bilinmeyeni temsil eden şekiller kullanmak onların problemi anlamasını kolaylaştırır.

Örnek: “Gizemin parası, Can’ın parasının  katı, Onurun parası Gizemin parasının  katından  lira fazladır. Üçünün paraları toplamı 85 lira olduğuna göre her birinin parası kaç liradır?

Onur  

Gizem

Can

3.Yapılacak İşlemlerin Kararlaştırılması Ve Matematik Cümlenin Yazılması

Bu beceri, problemleri çözerken kullanılır. Geliştirilmesi için problem öğrencilere cümle cümle okunur. Çocuklar dinledikleri cümlelerdeki ilişkilere göre adım adım matematik cümleyi yazarlar.

Örnek: Ali’nin renkli kalemleri vardı;  renkli kalemde ben verdim, böylece  kalemi oldu. Acaba başlangıçta Ali’nin kaç kalemi vardı?

Adımlar	Cümle	Matematik anlatım
1 2 3	Ali’nin kalemleri var. 5 kalem de ben verdim 11 kalemi oldu	[] []+5 []+5=11

4.Sonuçların Tahmin Edilmesi

Problem çözme becerisinin geliştirebilmesi için üzerinde durulması gereken bir husus da, öğrencilere işlem sonuçlarını nasıl tahmin edeceklerinin öğretilmesidir.

Örnek: Pencere camı fiyatının en kestirme tahmini, almak suretiyle, satın alınan camın  (yarım) metrekare olduğunu, dolayısıyla fiyatının da lira olacağına karar vermektir.

5.Problemin Çözümünün Tartışılması

Çözümün tartışılması safhasında üç temel davranış vardır:

1.       Çözümün doğruluğunun ve uygunluğunun anlaşılması,

2.       Problemin varsa başka bir yolla çözülmesi

3.       Bu problemde kazanılan bilgilerin bazı değişkenlerle ve ne tür problemlerin çözümünde kullanılacağının kararlaştırılması. Yani çözümün genelleştirilmesidir.

Örnek: Bir tüccar  Liraya aldığı bir malı karla sattı. Malın satış fiyatı kaç liradır?

Verilenler: Alış fiyatı: kar
İstenenler: Satış fiyatı:?

Çözüm:

Problem Kurma Çalışmaları

Problem kurma, problem çözmeyi bir başka yönden ele almaktır ve çözülen problemdeki ilişkileri içeren bir problemin kurulması, o problemdeki ilişkilerin kavrandığını işaret eder. Problem kurmayı başarabilen öğrencilerde matematiğe karşı sempati artar, korku azalır ve problemleri gözlerinde büyütmezler.

Örnek: Üç kardeşin banka hesaplarında toplam paraları var. Birincinin parası iki 75 ikincininkinden fazla, ikincininki üçüncününkinden fazladır. Her birinin parasını bulunuz.

Çözüm için; öğrencilerin hangi yolu kullanacaklarına bulmalarına yardımcı olmak amacıyla bu problemdeki sayılar küçük ve yuvarlak seçilerek, “İki kardeşin kumbaralarından çıkan paraların toplamı  lira olsun. İkincisinin parası birincisinin parasından  lira fazlaysa her birinin parasını bulunuz.” Şeklinde ifade edilir.

Zor Bilinen Problemler İçin Örnek Çözümler

Hareket Problemleri

Soru: İki araç aynı şehirden birlikte yola çıkıyorlar. Birincisi hızı saatte 85 km diğerinin ki 50 km’dir. Kaç saat sonra aralarındaki fark 245 km olur?

85 km

A                            245 km                                            B

50 km

Bu problemde değişmeyen değer bir saatteki hız farkıdır. Bu araçların araları, birinci saat sonunda  açılmış olur.’lik fark için saat süre gereklidir.

Karışım Problemleri

Soru: suya saf alkol karıştırılıyor. Karışım alkol oranı nedir?

Karışımın ’i. Şimdi bakalım ki, alkol içinde bu ’lik parçalardan kaç tane var?

. Demek ki, karışımın alkol oranı olmuş.

Ortak İş Görme Problemleri

Soru: İki işçi birlikte bir işi 2 günde tamamlıyorlar. Birincisi yalnız başına 3 günde tamamlayacağına göre, diğeri aynı işi yalnız başına kaç günde tamamlar?

Cevap: 6 gün.

Şekli çizerken şekli 2 ile 3’ün ortak katı olan 6 birimlik almak işlemlerin anlaşılmasını kolaylaştırmaktadır.

Kat İlişkisine Yer Veren Problemler

Bu tür problemler oldukça yaygındır ve problem cümlelerinde biri diğerinin 3 katı, biri diğerinden 5 fazla, 3 katından 5 fazla gibi cümleler bulunur.

Soru: İki kardeşin yaşları toplamı 15’tir. Büyüğünün yaşı küçüğünün yaşından 7 fazla olduğuna göre her birinin yaşını bulunuz.

Cevap: Küçük kardeşin yaşı 15

Büyük kardeşin yaşı 7

15 sayısı küçük kardeşin yaşından 2 tane ve ayrıca 7 yaştan meydana gelmiştir. O halde 15’ten 7’yi çıkarıp elde edileni 2’ye bölersek küçük kardeşin yaşı bulunur., küçük kardeşin yaşı

büyük kardeşin yaşı

Tek Çeşide Dönüştürme Problemleri

Soru: Tavuk ve tavşanların yer aldığı bir kümeste toplam 114 ayak ve 43 baş vardır hayvanların kaç tanesi tavuktur?

Sıra Dışı (Rutin Olmayan) Problemlerin Çözümü

Sıra dışı problemlerin çözüm süreci Polya’nın verdiği 4 aşamanın tam bir uygulamasıdır. Sıra dışı problemlerin konuları gerçek hayata ister uysun ister uymasın onlar gerçek hayattaki olayların birer benzeridirler.

1.Sistematik Liste Yapma

Bazı problemlerin çözümü, bir işle ilgili olan bütün hallerin bilinmesini gerektirir. Böyle durumlarda dikkatli seçilmiş bir sırayla liste yapmak çözümü kolaylaştırır.

§  Problemin Anlaşılması: Atış levhasındaki puanlar biliniyor. Bir kişi arka arkaya 5, 5, 5 veya 10, 5, 1 gibi bir puan serisi elde edecektir. Problemde kaç değişik toplam puandan birisini alabileceği sorulmaktadır.

§  Stratejinin Seçimi: Liste yapma, atış yapan en az 3 en çok 30 puan alır. Yapılacak liste bu aralıkta alınabilecek tüm puanları göstermektedir. Üçü de aynı olan, ikisi aynı olan üçü de farklı olan atışlar şeklinde bir liste yapılabilir.

Çözüm:

Atış	Atış	Atış	Toplam Puan
10	10	10	30
5	5	5	15
1	1	1	3
10	10	5	25
10	10	1	21
5	5	10	20
5	5	1	11
1	1	10	12
1	1	5	7
10	5	1	16

§  Çözümün Değerlendirilmesi: Böyle bir problemin çözümünde en önemli nokta sıralamaya nereden başlanacağını iyi kestirmektir. Her sütunda yer alan sayı türlerinin aynı olduğuna dikkat ediniz.

Eğer dördüncü bir puan söz konusu olsaydı kaç satırlı bir liste oluşurdu?

1 sayısını da içine alan bir daire çiziniz ve dışına sıfır (0) yazınız. Bu durumda asıl problemin çözümü basıl yapılır?

Üçü de aynı olan atışlar içine 0, 0, 0 da girer değil mi?

2.Tahmin ve Kontrol Stratejisi

Bu stratejide verilen problemin cevabı tahmin edilir ve tahmin edilen cevabın doğru olup olmadığı araştırılır. Tahmin edilen cevap çözüm ise problem çözülmüş olur. Değilse bu tahminden yararlanılarak cevaba daha yakın bir tahmin yapılır. Bu yöntem takip edilerek doğru cevaba ulaşıncaya kadar tahmin ve kontrole devam edilir. Yani bu stratejinin gereği olarak yapılan ve değiştirilen tahminler rasgele değildir.

Problem: Bir öğrenci 1 ve 2 puanlık soruların sorulduğu bir sınavda 56 soruya doğru cevap vermiş ve 78 puan almıştır. Bu öğrenci kaç tane 1 puanlık soruya doğru cevaplamıştır.

§  Problemin anlaşılması: 1 ve 2 puanlık soru sayıları 56’dan küçüktür.

§  Uygun stratejinin seçilmesi: Tahmin ve kontrol birini yuvarlak sayı seçmek ve işlem sonuçlarına göre tahminler yapmak suretiyle sonuca ulaşılabilir.

§  Çözümün değerlendirilmesi: Eğer öğrenci 88 puan almış olsaydı, kaç tane 1 puanlık soru çözmüş olurdu?

3.Diyagram Çizme

Bir resmin binlerce kelimeye bedel olduğu öteden beri söylenir. Geometri problemlerinde konuya ilişkin şeklin çizimi çözümü görmeyi kolaylaştırır. Geometrik olmayan problemlerde de temsili şemalar aynı yararı sağlar. Veriler arasındaki ilişkileri görmek için çizilen bu şemalara diyagram adı verilmektedir.

Problem: 20 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes birbiriyle el sıkışıyor. Kaç el sıkışması olur?

§  Problemin anlaşılması: Salona ilk giren, kimseyle el sıkışmayacak, ikinci giren ilk girenle, üçüncü giren, ilk iki kişiyle el sıkışacak. Böylece 20 kişi 19 kişiyle el sıkışacak. El sıkışma işlemi tamamlandığında kaç el sıkışma işlemi olduğunu sorulmaktadır.

§  Stratejinin seçilmesi: Diyagram çizme. İki kişinin el sıkışması, onları bağlayan bir doğru parçası ile gösterilir. 2, 3, 4, 5 kişinin durumunu gösterelim Bu çizimden, 20 kişi hatta n kişi için bir model bulmaya çalışalım

Çözüm:

              2 kişi                                    3 kişi                                            4 kişi                                               5 kişi

Kişi Sayısı	El Sıkışma Sayısı
1
2
3
4
5
.	.
.	.
20

El sıkışma sayılarının 0, 1, 3, 6, 10… şeklinde 1, 2, 3, 4 gibi farklarla büyüyen bir dizi olduğu görülüyor. 20.elemanda bu terim 190 olur.

§  Çözümün Değerlendirilmesi: 10. Kişiden sonra kaç el sıkışması olur?

Yukarıdaki problemde el sıkışma sayıları n inci kişi için n-1 e kadar sayıların toplamından oluşuyor. Dolayısıyla çözüm 20 kişi için şeklinde de elde edilebilir. Bu bağıntıyı kullanarak 100 kişinin kaç el sıkışması yapabileceğini buluruz.

4.Bağıntıyı Bulma (İlişki Arama)

Bazı problemlerin özel çözümleri sıralandığında, bunların aritmetik, geometrik veya türeyiş kuralı daha değişik olan bir dizi oluşturduğu görülür. Bu tür problemlerin çözümüne ulaşmak için dizinin terimlerinin hangi kurala göre türediğinin farkına varmak çözümü sağlar. Bunun için özel, sıralı küçük değerlerin incelenmesi ve türeyiş kuralının keşfedilmesi gerekir.

§  Problemin anlaşılması: Her iki sayma sayısının birisi tek olduğundan 75 tane tek sayı vardır. İşleminin sonucu istenmektedir.

§  Stratejinin seçimi: Bu toplam doğrudan yapılabilir, ancak bu türlü çok zaman alır. Daha küçük sayıdaki tek sayıların toplamına bakarak bir ilişki bulalım.

Çözüm:

5.Açık Önerme Yazma ( Eşitlik veya Eşitsizlik)

Açık önerme; içindeki bilinmeyenlerin aldığı değerlere göre, doğru veya yanlışlığı kesinleşen cebirsel ifadelere denmektedir.

,,ifadeleri; birer açık önermedir.

Aritmetik ve Cebir problemlerinin birçoğu, bilinmeyen bir sayının bulunmasını ister. Böyle durumlarda; bilinmeyeni “ x “ gibi bir harfle gösterip, Matematik ifadeyi yazmak ve oluşan eşitliği veya eşitsizliği çözmek gerekir. Bilinmeyen yerine değerler konarak çözüm bulunabilir. Ancak bazen denenmesi gereken değer o kadar çok olur ki denemeyle başa çıkılamayabilir. Bu durumda, genel bir çözüm yoluna ihtiyaç duyulur. Bazen de problem bir genellemeyle ilgili olur ve örneklerin denenmesi çözüm için yeterli olmaz.

(Pisagor Bağıntısı) örneğinde olduğu gibi. Bu durumda ispat gerekir. Aşağıda, eşitlik yazma ile ilgili bir problem ve onun çözümü yer almaktadır.

Problem: Bir bisikletli, bir yolu 16 km hızla gidiyor ve aynı yolu 20 km hızla dönüyor. Dönüş süresi 4 saat olduğuna göre, bisikletli gidiş için kaç saat harcamıştır.

§  Problemin anlaşılması:

16     km/s

 A                                                           B

                                               20 km/s

Problemde, giderken ve dönerken aynı yol alınmıştır. Gidiş süresi sorulmaktadır.

§  Stratejinin seçilmesi: Gidiş süresini t ile gösterelim. Gidiş ve dönüş yollarının aynı olduğunu düşünerek bir eşitlik ( denklem ) yazmak mümkündür.

Çözüm:

Giderken alınan yol:

Dönerken alınan yol:

6.Tahmin Etme

Bazen bir problemin tam çözümü yerine tahmini çözümü de yeterli olur. Böyle durumlarda problemle ilgili veriler bazen en yakın yuvarlak sayıya, bazen de alt ya da üstteki yuvarlak sayılara yuvarlanarak işlem yapılır. Yuvarlakla sayılara işlemler çoğu kez zihinden yapılır. Yuvarlak sayılarla işlemler çoğu kez zihinden yapılır. Bu şekliyle sağlıklı bir tahmin yapmak problemi çözmek için yeterlidir.

Problem: büyüklüğünde arsaya ihtiyacı olan bir adamın baktığı arazilerden biri dikdörtgen şeklindedir ve abatları ’dir. Bu arsa aranan koşullara uygun mudur?

§  Problemin anlaşılması: Arsa dikdörtgen şeklindedir. Alanının için yeterli olup olmadığı sorulmaktadır.

§  Stratejinin seçilmesi: Burada çarpma yapmak gerekmektedir. Ancak tahmini işlem öncelikle karar vermek için yeterlidir.

Çözüm: 48 metreyi 50 metre, 97 metreyi de 100 metre alacak olursak, olur. Arsa yeterli değildir. Çünkü arazi ’nin altındadır.

7.Benzer Basit Problemlerin Çözümünden Yararlanma

Bazı problemlerde sayısal verilerin büyük olması problemdeki ilişkilerin görülmesini engeller. Bu durum ondalık basamakların çok olması durumunda da söz konusudur. Böyle durumlarda orijinal probleme benzer ve sayısal verileri küçük olan problemlerin çözülmesi orijinal problemin nasıl çözüleceği hakkında bir fikir verir.

Problem: Meryem, 64 küçük küpten oluşan büyük küpe sahiptir. Bu küpün bütün dış yüzleri boyalıdır. Böylece küçük küplerin bir kısmının 3, bir kısmının 2, bir kısmının 1 yüzü boyalıdır, bir kısmının da hiçbir yüzü boyalı değildir. Meryem’in küplerinin kaç tanesinin 3, kaç tanesinin 2, kaç tanesinin 1 yüzü boyalıdır ve kaç tanesinin hiçbir yüzü boyalı değildir?

§  Problemin anlaşılması: Bir boyutunda 4 küçük küp olan bir büyük küp var. 3 yüzü, 2 yüzü, 1 yüzü ve 0 yüzü boyalı küçük küp sayısı soruluyor.

§  Stratejinin seçilmesi: Benzer basit problemlerin çözümünden yararlanma yoluna gidilebilir. Önce bir kenarında 2, yani 8 küçük küp; sonra bir kenarı 3, yani 27 küçük küpten oluşan küplerin boyanma durumunu inceleyelim.

Çözüm:

Küçük Küp Sayısı	3 Yüzü Boyalı	2 Yüzü Boyalı	1 Yüzü Boyalı	Boyasız
8	8	-	-	-
27	8	12	6	1
64	8	24	24	8
125	8	36	54	27

Bu tablodan üç yüzü boyalıların her zaman 8 (köşe sayısı) olduğu, 2 yüzü boyalıların kenar sayısı ile (12),(n-2)’ nin çarpımı, bir yüzün boyalıların yüz sayısı ( 6 ) ile ’nin çarpımı ve en nnihayet boyasızların tane olduğu görülüyor.

8.Geriye Doğru Çalışma

Bazı problemlerde başlangıç bilgileri verilir, sonuç bilgileri istenir, bazılarında ise sonuç bilgileri verilir, başlangıç bilgileri istenir.

“5’in 3 fazlasının 7 katı kaç eder?” başlangıç bilgilerini verilen, “Hangi sayının 3 fazlasının 7 katı 56 eder? “ sonuç bilgileri verilen probleme örnektir. Bu ikinci tip problem işlemlerin terslerinin sondan başa doğru yapılarak çözülür. Bundan ötürü bu çalışma biçimine geriye dönük çalışma denir.

Problem: Bir lokantada yemek yiyen müşterilere, hesap ödeme sırasında, lokanta sahibi “ Kasaya bak, ne kadar para varsa kendin de o kadar koy, 2 lira al ve çık. “ diyor. Dördüncü müşteri kasaya baktığında para olmadığını görüyor. Müşterilerden önce kasada kaç lira vardı?

§  Problemin anlaşılması: Kasada bir miktar para vardı. Müşteriler kasadaki para kadar para koydu ve 2 lira aldılar. 3. Kişi 2 lirayı alınca kasada para kalmadı. O halde para 3. Müşterinin 2 lira almasıyla bitmiştir.

§  Strateji: Geriye doğru çalışma

Çözüm: 3 kişinin aldığı 2 lirayı kasaya koyarak başlayalım. 3. Müşteri; kasada 0 lira, son aldığı 2 lirayı ekliyor. . Bu 2 lira nasıl olmuştu? Kasaya bakmış, mevcut para kadar para koymuştu. Yani, kasadaki parayı 2 ile katlamıştı (çarpmıştı). Öyleyse 2’ye bölelim. 2 lira kasada lira (kasada 1 lira)

2.müşteri; kasaada (kasada 1,5 lira)

1. müşteri; kasada (kasada 1,75)

Kasada 1,75 lira para vardı.

9.Tablo Yapma

Bazı problemlerin verileri ya da çözüm sırasında elde edilen bilgileri bir tablo halinde düzenlemek, veriler ya da elde edilen bilgiler arasındaki ilişkilerin görülebilmesini kolaylaştırır. Böylece sonuçların elde edilmesinde kullanılan kural bulunur ve problem çözülür. Özellikle, bir çok Matematik kural ya da genellemenin iç içe yer aldığı durumları açıklayabilmek, bu kuralların her birini görmek ve devamını tahmin edebilmek için uygun bir stratejidir.

Problem: Dikdörtgen biçimindeki bir bilardo masasının yalnızca üç köşesinde delik vardır. Diğer köşeden bir bilardo topu, masa kenarına açıyla atılır. Top, herhangi bir kenara çarptığında yine’lik açıyla seker.

Problemin anlaşılması:

Aşağıda iki örnek verilmiştir.

3x5’lik dikdörtgen 7 doğrusal hareket
4x6’lık dikdörtgen  doğrusal hareket

Bunlar ve benzeri durumlarda kaç doğrusal hareket olacağı soruluyor?

Strateji: Tablo yapma

Yukarıda incelenen iki örnek; boyutlarla doğrusal hareket arasındaki ilişkiyi görmek için yeterli değildir.

Boyutlardan birini sabit tutup, diğerini değiştirerek (2x1, 2x2,2x3,…,2x10, … gibi) elde edilecek olan özel örnekleri incelemenin yararı olabilir. Sonra diğer boyutu da değiştirmek gerekeceğinden bir tablo yapmak ve sonuçları bu tablo yardımı ile birlikte incelemek gerekir.

Çözüm:

Birinci Boyut	İkinci Boyut
		1	2	3	4	5	6	7
	1	1	2	3	4	5	6	7
	2	2	3	4	5	6	7	8
	3	3	4	5	6	7	8	9
	4	4	5	6	7	8	9	10
	5	5	6	7	8	9	10	11
	6	6	7	8	9	10	11	12
	7	7	8	9	10	11	12	13

Tabloda, her bir satırın ve sütunun nasıl devam edeceği görülüyor. Ayrıca, tablo birinci köşegene göre simetriktir.

Çapraz sıralar incelendiğinde;

4, 4, 4, 4

6, 6, 6, 6, 6, 6

10, 10, 10, 10, …

Şeklinde devam eden sıraların toplamları asal sayı olan boyutlarda (1+6,2+5, … gibi) ilgili olduğu ve bu toplamın 1 eksiği kadar hareket getirdikleri görülüyor.

 Şimdi diğer değerleri de göz önüne alacak olursak, tüm tablo için; eğer köşegenler a, b ise, doğrusal hareket sayısı:

bağıntısı geçerli olur mu?

10.Muhakeme Etme

Muhakeme etme aslında tüm problem çözme stratejilerinin kullanıldığı yerde vardır. Bazı problemlerin çözümünde ise muhakeme etme dışında bir strateji kullanmak mümkün değildir. Bu stratejinin kullanımında “ Eğer … olsaydı, … olurdu.” Şeklinde cümleler sıklıkla kullanılır. Ulaşılan sonuç değerlendirilir. Çözüme yaklaşma durumuna göre, varsayım değiştirilir. Böyle devam ederek doğru sonuca ulaşılır. Cebirsel teoremlerin ispatı da bu stratejiye uymaktadır. Örneğin; “ İkili bir çarpımın çarpanlarından en az biri çift ise, bir ikili çarpım çifttir.” Teoremi, bu strateji ile ispatlanabilir. Aşağıda, örnek çözüm verilmiştir.

Problem: Bir tepside bulanan hepsi de aynı görünümlü olan 9 pinpon topundan 8 tanesinin kütlesi aynı, birisinin kütlesi diğerlerinden 1 gr fazladır. Elimizde bir kefeli terazi var fakat ağırlık takımı yok. Kütlesi fazla olanı kefeli terazi ile en az kaç tartıda bula bilirsiniz?

§  Problemin anlaşılması: 9 toptan yalnız biri ağırdır ve görünümleri aynı olduğu için bu top fark edilememektedir.

§  Strateji: Muhakeme etme. Değişik gruplama tartma denenecektir.

§  Çözüm: Topları 4, 4, 1 veya 3, 3, 3, şeklinde gruplamak mümkündür. Önce;3, 3, 3, şeklinde gruplayıp iki grubu kefelere koyalım. Eğer terazi dengede ise ağır top dışarıda kalan 3’lü içinde, dengede değilse ağır taraftaki üçlü içindedir. Teraziyi bir kez kullanmakla ağır topun içinde bulunduğu, üçlüyü belirlemiş olduk. Şimdi bu üçünden ikisini terazinin kefelerine koyarız, dengede ise ağır olan dışarıdaki top, değilse ağır tartan taraftaki toptur. Böylece iki tartı ile ağır topu seçmiş olduk.

Kaynakça

Baykul, P. D. (200). İlkokulda Matematik Öğretimi. Ankara: Pegem Akademi.

www.mathforum.com. (2014, 6 1). www.mathforum.com adresinden alındı

www.mathsolutions.com. (tarih yok). www.mathsolutions.com/index.cfm?page=wp9&crid=56 adresinden alındı

www.matsisfun.com. (2014, 5 30). www.matsisfun.com adresinden alındı